Geboren wurde Robert Meyer 1953 in Bad Reichenhall/Bayern. Nach dem Abschluss seiner Lehre als Baustoffkaufmann studierte er ab 1971 an der Hochschule für Musik und darstellende Kunst Mozarteum in Salzburg. 1974 schloss er sein Studium mit Auszeichnung ab, war aber bereits seit 1973 Gast am Landestheater Salzburg. Von 1974 bis 2007 war Robert Meyer Mitglied des Wiener Burgtheaters, wo er über 90 Rollen spielte und auch Ensemblesprecher war. Sein Burgtheaterdebüt gab er als Schweizerkas in Bertold Brechts Mutter Courage. Große Erfolge feierte er auch im Musiktheater u. a. an der Volksoper Wien als Sigismund Sülzheimer (Im weißen Rössl, 1993), Sancho (Der Mann von La Mancha, 1996), Alfred P. Doolittle (My Fair Lady, 2003) sowie an der Wiener Staatsoper als Frosch (Die Fledermaus).

Im September 2007 übernahm Burgschauspieler Robert Meyer die Direktion der Volksoper Wien. Mit einem vielseitigen Programm basierend auf den Repertoiresäulen Operette, Oper, Musical und Ballett gelang es, die Auslastung zu erhöhen, die Einnahmen zu steigern und neue Stammkunden zu gewinnen. Charakteristisch für Meyers Direktion ist, das Ensemble des Hauses zu stärken und Regisseure zu engagieren, die er als „erstklassige Handwerker“ schätzt. Laufend wird das Angebot der Jungen Volksoper ausgebaut. Mit zahlreichen Produktionen speziell für Kinder und Jugendliche, einem Kinderchor und Jugendchor, Workshops, Schulprojekten und Kinderführungen wird in jungen Menschen die Liebe zum Musiktheater geweckt. In der Direktionszeit von Robert Meyer unternahm die Volksoper drei große Gastspiele nach Tokio (Bunka Kaikan Hall), zwei weitere Gastspiele führten nach Finnland zum Savonlinna Festival.

Rollen
In zahlreichen Vorstellungen steht Publikumsliebling Robert Meyer selbst auf der Bühne der Volksoper. Zu seinen wichtigsten Rollen zählen Frosch (Die Fledermaus), Njegus (Die lustige Witwe), Pelikan (Die Zirkusprinzessin), Leopold Maria (Die Csárdásfürstin), Penižek (Gräfin Mariza), Hans Styx (Orpheus in der Unterwelt), Metternich (Der Kongress tanzt), Filosel (Meine Schwester und ich), Doolittle (My Fair Lady), Nathan (Guys and Dolls), Horace Vandergelder (Hello, Dolly!), Pseudolus (Die spinnen, die Römer!), J. B. Biggley (Wie man Karriere macht, ohne sich anzustrengen), Herr Schultz (Cabaret), Schikaneder/Cilly Weber (Die Weberischen), Don Quixote/Cervantes (Der Mann von La Mancha), Professor Marvel/Zauberer (Der Zauberer von Oz), Frosch (Die Fledermaus), Doolittle (My Fair Lady), die Erzähler in den konzertanten Aufführungen von Candide und Wagners RING an einem Abend (Textfassung: Loriot) sowie die Soloabende Tannhäuser in 80 Minuten und Zwangsvorstellung.

Inszenierungen
Seit 1993 führt Robert Meyer Regie u. a. beim Sommertheater Reichenau, im Schauspielhaus Graz, bei den Operettenfestspielen Bad Ischl, im Akademietheater Wien sowie im Burgtheater Wien.
An der Volksoper inszenierte er erstmals 2008 Oscar Straus’ Die lustigen Nibelungen. Es folgten die Uraufführung der Pop-Oper Antonia und der Reißteufel von Christian Kolonovits, Johann Nestroys/Jacques Offenbachs satirische Operette Häuptling Abendwind, Giacomo Puccinis Der Mantel / Gianni Schicchi, die Heymann-Operette Der Kongress tanzt, die Uraufführung der BaRock-Oper Vivaldi – Die fünfte Jahreszeit von Christian Kolonovits und Ralph Benatzkys Meine Schwester und ich.

Auszeichnungen
Robert Meyer ist Träger des Nestroy-Rings (1993) und der Kainz-Medaille (1999).
1997 wurde er zum Kammerschauspieler ernannt. 
2013 wurde ihm das Goldene Ehrenzeichen für Verdienste um das Land Wien verliehen.